Blog-Serie
SDE - Basics I: Räume
Überblick über Räume
Historische Entwicklung
Isomorphismen
Relevante Typen & Abhängigkeiten von Räumen
Mengen
Strukturen
Literatur
Überblick über Räume
Bevor wir uns den eigentlichen Themen unserer Blog- Serie widmen können, ist es nötig, ein Minimum an grundlegenden Konzepten vorzustellen, welche durch die Blog-Serie hindurch benötigt werden. Das Ziel soll nicht sein jedes einzelne Detail, Beweis oder verworrene Spezialität in Betracht zu ziehen, sondern ein grobes Verständnis des Ablaufes zu schaffen. Mathematisch versierte Leser werden hier auf die angegebene Literatur verwiesen, oder können uns gerne über das Kontaktformular eine kurze Nachricht zukommen lassen, um tiefergreifende Quellen zu erhalten.
Der Beitrag ist folgendermaßen aufgebaut: Anfänglich werden alle relevanten Konzepte vorgestellt. Nachfolgend wird die geschichtliche Entwicklung aufgezeigt. Abschließend werden die Konzepte eingehender behandelt.
Zunächst sollte die zentrale Frage dieses Beitrages beantwortet werden:
Was sind mathematische Räume?
Ein Raum ist eine Menge (ein sogenanntes Universum) mit einer zugrunde liegenden Struktur.
Daher besteht ein Raum aus mathematischen Objekten (welche meist als Punkte betrachtet werden), welche miteinander in Beziehung stehen. Die Punkte können Elemente anderer Mengen oder Ergebnisse von Funktionen auf andere Räume sein. Die Beziehung der Punkte zueinander kann mittels sogenannter Morphismen dargestellt werden (z.B. Homomorphismus, Isomorphismus). Morphismen (hier Homomorphismen) beschreiben mathematische Abbildungen, welche im Falle eines Homomorphismus die Struktur der Zielmenge in der Bildmenge erhält. Eine allgemein gültige Definition wurde von einer Gruppe von Mathematikern namens „Nicolas Bourbaki“ festgelegt.
Im vorherigen Absatz wurde eine kurze Beschreibung von Räumen vorgestellt. Nachfolgende Grafik zeigt einen alphabetisch sortierten Überblick über geläufige Räume.
Folgend werden die historische Entwicklung sowie die genauere Betrachtung der grundlegenden Konzepte vorgestellt.
Historische Entwicklung
Räume wurden als dreidimensionale geometrische Abstraktion der Realität betrachtet und vom “Vater der Geometrie” Euklid (325-270 v.Chr) durch seine Axiome um etwa 300 v.Chr. beschrieben. Im Jahr 1637 nutze René Descartes (1596-1650) diese Einsichten Euklids in seinen sogenannten Methoden der Koordinaten. Zu diesem Zeitpunkt standen zwei Hauptkonzepte in Beziehung mit Räumen, nämlich Kongruenz und Ähnlichkeit.
Kongruenz herrscht nur dann, wenn sich zwei Punkte mittels einer Isometrie ineinander überführen lassen. Eine Isometrie versteht sich als abstandserhaltende Transformation zwischen zwei metrischen Räumen, denen Bijektivität unterstellt wird.
Ähnlichkeit kann als gleichförmige Skalierung betrachtet werden.
Im Jahr 1795 wurde von Gaspard Monge (1746-1818) die sogenannte projektive Geometrie, welche als drittes Hauptkonzept gesehen werden kann, eingeführt. Dies führte zu einer kritischen Betrachtungsweise der Axiome von Euklid. Die Arbeiten aus dem Jahr 1816 von Carl Friedrich Gauss (1777-1855), aus 1829 von Nikolai Lobachevsky (1792-1856) und aus 1832 von János Bolyai (1802-1860), befassten sich mit dem Thema der nicht-euklidischen hyperbolischen Geometrie. Diesen lag das Problem wohl definierter Dreiecke zugrunde, deren Winkelsumme größer als 180° waren und somit im Gegensatz zu Euklids Erkenntnissen standen.
Das Problem wurde von Eugenio Beltrami (1835-1900) im Jahr 1868 und von Felix Klein (1849-1925) in 1871 gelöst, was zum Zerwürfnis mit der Ansicht der Euklidischen Geometrie als „absolute Wahrheit“ führte. Zusätzlich endete diese Entwicklung in einer geänderten Wahrnehmung von Axiomen, welche nunmehr als Hypothesen betrachtet wurden.
Die Arbeit der Gruppe „Nicolas Bourbaki” als auch die Axiome von Hilbert, Tarshi und Birkhoff bewirkten weitläufige Reformationen der Ansichten in diesem Gebiet.
Isomorphismen
Um ein besseres Verständnis des Themas zu gewährleisten, ist es an der Zeit sich dem Thema der Morphismen, im Speziellen der Isomorphismen zu widmen. Wie bereits erwähnt, gehört ein Isomorphismus zu den Homomorphismen, welche über strukturerhaltende Eigenschaften verfügen. Ein Homomorphismus kann als mathematische Abbildungen, welche die Struktur der Zielmenge in der Bildmenge erhält, betrachtet werden.
Jeder Isomorphismus zwischen zwei Euklidischen Räumen kann als Isomorphismus zwischen zwei dazugehörigen topologischen Räumen gesehen werden und wird Homeomorphismus genannt.
Kurzum ist die wichtigste Erkenntnis, die der Erinnerung wert ist, wohl die strukturerhaltende Eigenschaft von Homomorphismen.
Relevante Typen & Abhängigkeiten von Räumen
Allgemein können Räume in drei Kategorien (auf die hier nicht eingegangen wird) und zwei Basisräume (Vektorräume & topologische Räume) aufgeteilt werden. Im Folgenden werden nur einige ausgewählte und für die Blog-Serie relevante Typen von Räumen kurz vorgestellt.
Metrische Räume
Abstände zwischen Punkten sind in sogenannten metrischen Räumen definiert. Daher werden wir im Folgenden Isomorphismen zwischen metrischen Räumen als Isometrien bezeichnen. Es ist hervorzuheben, dass jeder Euklidische Raum ebenfalls ein metrischer Raum ist. Auf metrische Räume kann zudem die sogenannte Hausdorff Dimension (relevant beim Thema der Fraktalität) angewandt werden.
Mannigfaltigkeit
Mannigfaltigkeiten sind messbar und stellen topologische Räume dar, die eine lokale Ähnlichkeit (oder Gleichheit) zu Euklidischen Räumen nahe einem Punkt aufweisen. Präziser beschrieben, hat jeder Punkt einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit eine „Nachbarschaft“, welche homeomorphisch einem n-dimensionalen Euklidischen Raum gleicht (sogenannte n-Mannigfaltigkeit).
Im zweiten Teil der grundlegenden Artikel werden Maßräume eingeführt. Um vorab einen überzeugenden Überblick über die Arten von Räumen und deren Zusammenhänge zu liefern und wie diese geordnet sind, dient folgende Grafik.
Mengen
Wie nun aus dem einleitenden Teil klar wurde, bestehen Räume aus Mengen, sogenannten Universen. Daher ist es nun an der Zeit die folgende Frage zu beantworten:
Was sind Mengen?
Mengen sind eine wohl definierte Zusammenfassung von eindeutigen, einzelnen mathematischen Objekten, Elemente genannt.
Der Begriff “Menge” wurde von Bernard Bolzano (1781-1848) geprägt. Der „Vater der Mengenlehre“ Georg Cantor (1845-1918) hat hier eine ursprüngliche (inzwischen als überholte und durch die axiomatische Mengenlehre abgelöste) anfängliche Definition einer Menge festgelegt:
„Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.“
Strukturen
Das letzte wichtige Konzept im Zusammenhang mit Räumen sind Strukturen. Eine Struktur selbst ist ein Objekt, welches in Zusammenhang mit einer Menge steht und zusätzliche Bedeutung und Informationen liefert (Eigenschaften). Beispiele von Strukturen sind Maße (welche im zweiten Teil vorgestellt werden), algebraische Strukturen (z.B. Gruppen, Felder), Topologien, metrische Strukturen und viele mehr.
Im zweiten Teil werden weitere Fragen beantwortet (u.a. Was sind Maße?, Was kann man damit bewerkstelligen und wie sind Maßräume und die eigentlichen Themen der Blog-Serie verbandelt?).
Hochachtungsvoll,
Ihr Markus Vogl
Literatur
Arens, T. et al., 2018. Mathematik. 4. Hrsg. s.l.:Springer.
Oksendal, B., 2013. Stochastic Differential Equations. Norway: Springer.
https://www.mathe-lexikon.at/mengenlehre/grundlagen/menge-definition.html
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- Verwendete Bilder und Graphiken:
- balls-blue-spheres von SplitShire (Pexels Lizenz)
